Управление образования администрации Партизанского района г. Минска

Олимпиадные задания первого тура по математике

8 класс

 

8.1. Найти все такие двузначные числа, которые делятся на каждую из цифр в их записи.

 

8.2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС)на стороне АВ взяли точки

D и F (точка D ближе к В), а на стороне ВС – точку Е так, что отрезки BD=DE=EF=FC=CA. Найти  треугольника АВС.

 

8.3. Найти значение выражения при х =1004, у =1003

 

х4+10х2+25-у4

2ху-5-(х+у)2

 

8.4. У Змея Горыныча 2010 голов. Иван – Царевич может срубить ему одним ударом меча 21, 17 или одну голову, но при этом у Змея Горыныча вырастает взамен 0, 14, 49 голов соответственно. Если отрублены все головы, то новых голов не вырастает. Сможет ли Иван Царевич одолеть Змея Горыныча? 

 

8.5. На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 20. Какое наименьшее их количество нужно стереть, чтобы среди оставшихся чисел не нашлось двух чисел, одно из которых равно в 2 раза больше другого?

 

 

 

Олимпиадные задания первого тура по математике

9 класс

 

9.1.  Опишите закономерность (формулу искать не надо), по которой  устроена  такая  последовательность  чисел: 25, 35, 55, 75, 115, 135, ... . Появится ли в этой последовательности число 8995?

 

9.2. Биссектриса CF и высота BH треугольника ABC пересекаются  в  точке  O.  Найдите  углы  треугольника  ABC,  если  CO = OF,  а BO:OH = 2.

 

9.3. Решите уравнение

 

 

9.4. Можно ли из квадрата со стороной 16,01 см вырезать прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 20 см?

 

 

9.5. Все  участники  шахматного  турнира,  кроме  победителя,  набрали одинаковое количество очков (каждый сыграл с каждым ровно 1 раз). Победитель набрал 9 очков (победа даёт 1 очко, ничья — ½, поражение — 0). Сколько шахматистов участвовало в турнире?

 

 

 

Олимпиадные задания первого тура по математике

10  класс

10.1.     На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три большие и     одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших стоили вчера, а две большие и одна маленькая сегодня – столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленькие сегодня или пять маленьких вчера?

 

10.2.                Известно, что а2 + b2 = 3ab и a>b>0. Вычислите .

 

10.3.    Дан выпуклый четырехугольник ABCD, у которого AD = BD = CD,

    ÐBDC = 760. Найдите величину угла ВАС.

 

10.4.     При каком наибольшем n в таблицу 5 х n (5 строчек, n столбцов) можно вписать 0,1 и 2 (в каждую клетку одно число) так, чтобы сумма чисел во всех столбцах были различны, а суммы чисел во всех строчках были одинаковые?

 

10.5.    В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает   из колоды пачку, состоящую из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает вся пачку как одно целое и вставляет в то же место колоды. Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх. (примечание: если пачка состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз.)

 

 

Олимпиадные задания первого тура по математике

11 класс

 

 

11.1.    Известно, что сумма кубов действительных корней квадратного уравнения            х2- px – q = 0 равна 6088, где p и q – натуральные числа.

Найдите все возможные значения pq.

 

11.2.    Куб 1х1х1 полностью оклеили шестью квадратами  общей площадью 6.

Обязательно ли все эти квадраты равны?

 

11.3.    Найдите все действительные решения системы:

 

11.4.    Выпуклый четырехугольник АВСD вписан в окружность. Точка К – точка пересечения продолжений сторон ВА и CD (точка А лежит между точками К и В, точка D – между К и С). Известно, что AD = DC и АК = ВС.

Найти отношение КD : DB.

 

11.5.    В футбольном турнире участвовало 11 команд, каждая команда сыграла с каждой по одному разу.

Какое наибольшее число очков могла набрать команда, набравшая меньше всех очков? (В футбольном матче победившая команда получает 3 очка, проигравшая – 0: за ничью обе команды получают по 1 очку.)